Используя процедуру рандомизации дисперсии стандартной модели геометрического Броунского движения (ГБД), авторы построили новые семейства аналитически решаемых моделей ценообразования финансовых активов. В частности, были разработаны два семейства процессов, а именно модели — рандомизированная гамма (Г) и рандомизированная обратная гамма (ОГ), которые характеризуются параметрами формы и масштаба. Обе модели допускают довольно простые аналитические выражения для плотности перехода и безарбитражной цены стандартных европейских опционов. Волатильность Блэка-Шоулза проявляет симметричную «улыбку» для логарифмически форвардной денежности. Примечательно, но для целых значений параметра формы и произвольного положительного параметра масштаба аналитические формулы ценообразования вариантов включают только элементарные функции и даже являются проще стандартных (для постоянной волатильности) формул ценообразования Блэка-Шоулза (модель ГБД). В статье даны характеристики риск-нейтральной плотностей перехода для рандомизированных моделей Г и ОГ, которые демонстрируют «тяжелые хвосты». Рандомизированные плотности для модели ОГ имеют только конечные моменты порядка меньше или равные одному, в то время как рандомизированная плотность для модели Г имеет конечный первый момент и конечные моменты более высокого порядка в зависимости от срока погашения опциона и параметра масштаба. Показано, как рандомизированные модели Г и ОГ могут быть эффективно и точно откалиброваны для рыночных значений опционов, демонстрирующих «улыбку» волатильности для различных цен исполнения и сроков погашения. Откалибровка проведена с помощью модели SABR (Stochastic Alpha Beta Rho). Проведено сравнение этих моделей.
Как правило, существуют сложности для точного определения уровня ожидаемых потерь в целях управления риском и для оценивания опционов. В данной работе использована методология ожидаемых потерь для оценки опционов обмена акций с помощью некоторых приближений. Эффективность результатов наглядно продемонстрирована численными расчетами. Показано, как анализ ожидаемых потерь может помочь в выполнении требований постановлений Базельских соглашений III.
В статье представлен метод сравнения цен европейских опционов, основанный на использовании вероятностных метрик, применительно к двум моделям динамики цен — Башелье и Самуэльсона. В отличие от других работ на данную тему, рассматриваются классы опционов, а именно европейские опционы с функцией выплат, удовлетворяющих условию Липшица, а также европейские опционы с ограниченной функцией выплат. Для данных классов выбираются подходящие вероятностные метрики: метрика Форте-Мурье, метрика полной вариации и метрика Колмогорова. Мы доказали, что их вычисление сводится к вычислению W-функции Ламберта в случае метрики Форте-Мурье и к решению некоторого нелинейного уравнения в остальных случаях. Статистическая оценка параметров моделей на современном нефтяном рынке указывает на порядок величины погрешности, включая величину чувствительности цены опциона к изменению показателя волатильности.
Задача оценки стоимости опционов является одной из самых важных в области современных математических финансов. В случае полного рынка стоимость опциона, исключающая арбитраж, может быть определена единственным образом посредством усреднения по единственной риск-нейтральной мере. Для неполного рынка, однако, риск-нейтральная мера не уникальна и возможно оценить стоимость опциона в виде интервала цен, не допускающих арбитраж, которые были бы приемлемы как для продавца, так и для покупателя контракта. Граничные точки такого интервала характеризуют минимальную и максимальную стоимость, на множестве эквивалентных риск-нейтральных мер данного рынка, а также средние стоимости дисконтированной функции выплаты опциона. Зная границы полученного интервала, в целях риск-менеджмента, инвестор формирует супер-хеджирующие стратегии. В настоящей работе приводится оригинальный подход к решению проблемы оценки границ безарбитражной стоимости опциона на неполном рынке. Суть подхода заключается в добавлении необходимого числа вспомогательных активов с целью получения полного рынка, на котором задача имеет единственное решение. Рассматривая всевозможные пополнения, возможно также оценить минимальную и максимальную стоимости опционов на неполном рынке и получить интервал безарбитражных цен. Такое описание является дуальной характеристикой интервала стоимости опциона на неполном рынке. Авторы детально рассмотрели применение данного подхода к многомерной диффузионной модели рынка и обсудили возможность применения данного подхода при решении задач неполного хеджирования и оптимального инвестирования.
Авторами предложена методика оценки риска, связанного с субъективными факторами, которые могут оказывать влияние на достижение конечных целей бизнес-проектов, включая обеспечение информационной безопасности. В качестве таких факторов могут выступать: уровень зарплаты, уровень профессионализма и другие. При этом оценку риска мы предлагаем проводить с помощью метода нечеткой логики, что позволяет определять зависимость риска от различных параметров в условиях их неопределенности. По мнению авторов, предлагаемая методика поможет избежать некоторых неправильных управленческих решений при формировании авторских (рабочих) коллективов, которые могли бы привести к негативным последствиям при дальнейшей реализации бизнес-проекта. Эти негативные последствия могут выражаться в затягивании сроков реализации, удорожании самого проекта или даже потере бизнеса из-за утечки критически важной информации и кадров. Представленная авторами методика позволяет повысить эффективность проведения кадровой политики не только в отдельных организациях, но и в корпорациях и объединениях, имеющих сложные сетевые структуры.
