О методе рыночных пополнений в задачах оценки стоимости опционов

Задача оценки стоимости опционов является одной из самых важных в области современных математических финансов. В случае полного рынка стоимость опциона, исключающая арбитраж, может быть определена единственным образом посредством усреднения по единственной риск-нейтральной мере. Для неполного рынка, однако, риск-нейтральная мера не уникальна и возможно оценить стоимость опциона в виде интервала цен, не допускающих арбитраж, которые были бы приемлемы как для продавца, так и для покупателя контракта. Граничные точки такого интервала характеризуют минимальную и максимальную стоимость, на множестве эквивалентных риск-нейтральных мер данного рынка, а также средние стоимости дисконтированной функции выплаты опциона. Зная границы полученного интервала, в целях риск-менеджмента, инвестор формирует супер-хеджирующие стратегии. В настоящей работе приводится оригинальный подход к решению проблемы оценки границ безарбитражной стоимости опциона на неполном рынке. Суть подхода заключается в добавлении необходимого числа вспомогательных активов с целью получения полного рынка, на котором задача имеет единственное решение. Рассматривая всевозможные пополнения, возможно также оценить минимальную и максимальную стоимости опционов на неполном рынке и получить интервал безарбитражных цен. Такое описание является дуальной характеристикой интервала стоимости опциона на неполном рынке. Авторы детально рассмотрели применение данного подхода к многомерной диффузионной модели рынка и обсудили возможность применения данного подхода при решении задач неполного хеджирования и оптимального инвестирования.

1. Bajeux-Besnainou, I., & Portait, R. (1997). The numeraire portfolio: a new perspective on financial theory. The European Journal of Finance, 3(4), 291–309. https://EconPapers.repec.org/RePEc:taf:eurjfi:v:3:y:1997:i:4:p:291–309

2. Capinski, M. (2014). Hedging Conditional Value at Risk with Options. European Journal of Operational Research. https://doi.org/10.1016/j.ejor.2014.11.011

3. Cong, J., Tan, K. S., & Weng, C. (2014). Conditional value-at-risk-based optimal partial hedging. The Journal of Risk, 16(3), 49–83.

4. Corcuera, J. M., Nualart, D., & Schoutens, W. (2005). Completion of a Lévy market by power-jump assets. Finance and Stochastics, 9(1), 109.

5. Dhaene, J., Kukush, A., & Linders, D. (2013). The Multivariate Black-Scholes Market: Conditions for Completeness and No-Arbitrage. Theory of Probability and Mathematical Statistics, 88, 1–14. https://doi.org/10.2139/ssrn.2186830

6. Eyraud-Loisel, A. (2019). How Does Asymmetric Information Create Market Incompleteness? Methodology and Computing in Applied Probability, 21(2). https://doi.org/10.1007/s11009–018–9672-x

7. Föllmer, H., & Leukert, P. (1999). Quantile hedging. Finance and Stochastics, 3(3), 251–273. https://EconPapers.repec.org/RePEc:spr:finsto:v:3:y:1999:i:3:p:251–273

8. Föllmer, H., & Leukert, P. (2000). Efficient hedging: Cost versus shortfall risk. Finance and Stochastics, 4, 117–146.

9. Follmer, H., & Schweizer, M. (1991). Hedging of Contingent Claims Under Incomplete Information. (389–414). In M. H. A. Davis & R. J. Elliott (eds.), Applied Stochastic Analysis, Stochastics Monographs, Vol. 5, Gordon and Breach, London/New York.

10. Godin, F. (2015). Minimising CVaR in global dynamic hedging with transaction costs. Quantitative Finance, 16, 1–15. https://doi.org/10.1080/14697688.2015.1054865

11. Guilan, W. (1999). Pricing and hedging of American contingent claims in incomplete markets. Acta Mathematicae Applicatae Sinica, 15, 144–152. https://doi.org/10.1007/BF02720489

12. Hu, Y., Imkeller, P., & Müller, M. (2005). Partial Equilibrium and Market Completion. International Journal of Theoretical and Applied Finance (IJTAF), 08, 483–508. https://doi.org/10.1142/S0219024905003098

13. Karatzas, I., Lehoczky, J. P., Shreve, S. E., & Xu, G.-L. (1991). Martingale and Duality Methods for Utility Maximization in an Incomplete Market. SIAM J.Control Optim., 29(3), 702–730. https://doi.org/10.1137/0329039

14. Karatzas, I., & Shreve, S. (2000). Methods of Mathematical Finance. Journal of the American Statistical Association, 95. https://doi.org/10.2307/2669426

15. Kobylanski, M. (2000). Backward Stochastic Differential Equations and Partial Differential Equations with Quadratic Growth. The Annals of Probability, 28(2), 558–602.

16. Li, J., & Xu, M. (2013). Optimal Dynamic Portfolio with Mean-CVaR Criterion. Risks, ISSN 2227–9091, MDPI, Basel, Vol. 1, Iss. 3, pp. 119–147, http://dx.doi.org/10.3390/risks1030119

17. Melnikov, A. (1999). Financial Markets: Stochastic Analysis and the Pricing of Derivative Securities. American Mathematical Society.

18. Melnikov, A., & Smirnov, I. (2012). Dynamic hedging of conditional value-at-risk. Insurance: Mathematics and Economics, 51. https://doi.org/10.1016/j.insmatheco.2012.03.011

19. Melnikov, A., Volkov, S., & Nechaev, M. (2001). Mathematics of Financial Obligations.

20. Melnikov, A. V., & Feoktistov, K. M. (2001). Вопросы безарбитражности и полноты дискретных рынков и расчеты платежных обязательств [Arbitration-Free and Completeness Issues for Discrete Markets and Calculations of Payment Obligations]. Obozreniye Prikladnoy i Promyshlennoy Matematiki, 8(1), 28–40. (In Russian)

21. Miyahara, Y. (1995). Canonical Martingale Measures of Incomplete Assets Markets. Probability Theory and Mathematical Statistics: Proceedings of the Seventh Japan-Russia Symposium.

22. Spivak, G., & Cvitanic, J. (1999). Maximising the probability of a perfect hedge. The Annals of Applied Probability, 9(4), 1303–1328

23. Touchette, H. (n. d.). Legendre-Fenchel transforms in a nutshell. Retrieved from https://www.ise.ncsu.edu/fuzzyneural/wp-content/uploads/sites/9/2019/01/or706-LF-transform-1.pdf

24. Zhang, A. (2007). A secret to create a complete market from an incomplete market. Applied Mathematics and Computation, 191, 253–262. https://doi.org/10.1016/j.amc.2007.02.086