Оценка стоимости опционов для рандомизированных моделей геометрического броуновского движения

Используя процедуру рандомизации дисперсии стандартной модели геометрического Броунского движения (ГБД), авторы построили новые семейства аналитически решаемых моделей ценообразования финансовых активов. В частности, были разработаны два семейства процессов, а именно модели — рандомизированная гамма (Г) и рандомизированная обратная гамма (ОГ), которые характеризуются параметрами формы и масштаба. Обе модели допускают довольно простые аналитические выражения для плотности перехода и безарбитражной цены стандартных европейских опционов. Волатильность Блэка-Шоулза проявляет симметричную «улыбку» для логарифмически форвардной денежности. Примечательно, но для целых значений параметра формы и произвольного положительного параметра масштаба аналитические формулы ценообразования вариантов включают только элементарные функции и даже являются проще стандартных (для постоянной волатильности) формул ценообразования Блэка-Шоулза (модель ГБД). В статье даны характеристики риск-нейтральной плотностей перехода для рандомизированных моделей Г и ОГ, которые демонстрируют «тяжелые хвосты». Рандомизированные плотности для модели ОГ имеют только конечные моменты порядка меньше или равные одному, в то время как рандомизированная плотность для модели Г имеет конечный первый момент и конечные моменты более высокого порядка в зависимости от срока погашения опциона и параметра масштаба. Показано, как рандомизированные модели Г и ОГ могут быть эффективно и точно откалиброваны для рыночных значений опционов, демонстрирующих «улыбку» волатильности для различных цен исполнения и сроков погашения. Откалибровка проведена с помощью модели SABR (Stochastic Alpha Beta Rho). Проведено сравнение этих моделей.

1. Albanese, C., Campolieti, G., Carr, P., Lipton, A. (2001). Black-Scholes goes hypergeometric. Risk Magazine, 14(12), 99–103.

2. Black, F., & Scholes M. (1973). The pricing of options and corporate liabilities. Journal of political economy, 81(3), 637–654.

3. Bollen, N.P. (1998). Valuing options in regime-switching models. Journal of Derivatives, 6, 38–50.

4. Campolieti, G., & Makarov, R.N. (2012). On properties of analytically solvable families of local volatility diffusion models. Mathematical Finance: An International Journal of Mathematics, Statistics and Financial Economics, 22(3), 488–518.

5. Darsinos, T., & Satchell, S. (2007). Bayesian analysis of the Black-Scholes option price. In S. Satchel, (Ed.), Forecasting Expected Returns in the Financial Markets (pp. 117–150). NY: Academic Press.

6. Hagan, P.S., Kumar, D., Lesniewski, A.S., & Woodward, D.E. (2002). Managing smile risk. The Best of Wilmott, 1, 249–296.

7. Heston, S.L. (1993). A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options. The Review of Financial Studies, 6(2), 327–343.

8. Hull, J., & White, A. (1987). The pricing of options on assets with stochastic volatilities. The Journal of Finance, 42(2), 281–300.

9. MacBeth, J. D., & Merville, L. J. (1979). An empirical examination of the Black-Scholes call option pricing model. The Journal of Finance, 34(5), 1173–1186.

10. Prudnikov, A.P., Brychkov, I.A., & Marichev, O.I. (1986). Integrals and series: special functions, vol. 2. CRC Press.

11. Renault, E., & Touzi, N. (1996). Option hedging and implied volatilities in a stochastic volatility model. Mathematical Finance, 6(3), 279–302.

12. Rubinstein, M. (1985). Nonparametric tests of alternative option pricing models using all reported trades and quotes on the 30 most active CBOE option classes from August 23, 1976, through August 31, 1978. The Journal of Finance, 40(2), 455–480.

13. Taleb, N.N. (2015). Unique option pricing measure with neither dynamic hedging nor complete markets. European Financial Management, 21(2), 228–235.

14. West, G. (2005). Calibration of the SABR model in illiquid markets. Applied Mathematical Finance, 12(4), 371–385.

15. Wu, Q. (2012). Analytical Solutions of the SABR Stochastic Volatility Model. PhD dissertation. Columbia University.